Matematica – Roberto Daris

L’eterno ritorno del tempo e dello spazio

Il mitologo rumeno Mircea Eliade ritiene il sacro come innanzitutto qualche cosa di ganz andere, che nella lingua tedesca significa “completamente diverso”. E poiché non assomiglia a nulla di umano e terreno, il sacro può fare a meno di obbedire alle concezioni ordinarie di spazio e tempo. La stessa parola “consacrare”, sinonimo di “rendere immortale”, dà il privilegio a qualcosa o a qualcuno di sopravvivere nel tempo e in ogni luogo del pianeta. Sempre Eliade, distinguendo tra sacro e profano, suggerisce due categorie radicalmente differenti di spazio e di tempo.

Lo spazio sacro per antonomasia è il luogo in cui è avvenuto l’atto cosmogonico. Tale luogo viene assunto come il naturale Centro (o ombelico) del Mondo, da cui, come in un’esplosione cosmica simile ad un big bang, si sono diradate tutte le possibili molteplicità dei fenomeni. Uno spazio sacro con le medesime caratteristiche di centralità è l’Axis mundi, che collega e sostiene il Cielo e la Terra, e la cui base è conficcata sottoterra sino a raggiungere l’Inferno. Il Centro, qui, è il punto di intersezione della triade Cielo-Terra-Inferno, ed è l’unico luogo spaziale in cui risulta possibile una transizione e una comunicazione tra le tre regioni cosmiche. Da esso, successivamente, irrompono nel Mondo tutte le ierofanie (letteralmente “manifestazioni del sacro”) che si consolidano nel tempo sotto forma di credenze, miti e riti della vita collettiva.

L’atto di creazione del cosmo, in quanto prima irruzione del sacro nel Mondo, diventa a sua volta l’archetipo di ogni azione creatrice dell’uomo, in primis la consacrazione di un territorio appena conquistato. E’ con tale atto, del resto, come osserva opportunamente Eliade, che l’uomo si rende simile agli dèi, ripetendo, in versione circoscritta, l’opera esemplare della cosmogonia, che è l’atto divino per eccellenza. In più, con la scelta esistenziale di un habitat universale, l’uomo trascende al contempo tempo e spazio profani, giacché la scelta è fatta in eterno e in una fissità spaziale che non prevede più spostamenti in futuro. Il Centro esistenziale, consacrato e prescelto per la costruzione della città-cosmo, si scinde successivamente in una molteplicità di Centri coordinati – il tempio, la chiesa, il campanile, il cimitero, il municipio, la piazza principale – in cui la comunità degli uomini si riunisce periodicamente nel rispetto di rituali prestabiliti.

Dice Mircea Eliade: “Se qualsiasi territorio abitato è un cosmo, ciò avviene proprio per il fatto che esso è stato innanzitutto consacrato, perché esso, in un modo o nell’altro, è opera degli dèi, ovvero comunica con il loro mondo. Ogni mondo abitato è allora un universo entro il quale il sacro si è già manifestato.” (Il sacro e il profano, p. 24)

Tutto ciò è reso molto esplicito nel rituale vedico relativo alla conquista di un territorio, che prevedeva l’erezione di un altare del fuoco in onore di Agni. Tale finalità fonda le sue radici nel mito di Prajapati, il creatore del Mondo rimasto senza arti a causa della sua stessa creazione. Mentre tutti gli dèi lo abbandonano, uno spirito vitale a forma di uccello esce da lui e vola ad esortare Agni, il dio del fuoco, affinché si realizzi la ierofania della materializzazione in altare del demiurgo. L’erezione del Centro sacro doveva pertanto replicare la Creazione su un piano microscopico: l’acqua con cui si impastava l’argilla fungeva da Acqua primordiale, l’argilla sulla quale poggiava l’altare era il simbolo della Terra, le pareti laterali rappresentavano l’Atmosfera, ecc. L’altare, peraltro, doveva soddisfare a delle precise regole geometriche, così come era previsto dai Sulvasutra, veri i propri trattati matematici della cultura vedica. La più importante di queste era il principio di invarianza della forma al mutare delle dimensioni, acciocché il divino creatore ricostruito mantenesse qualcosa della sua precedente identità. Lo stesso avviene nel famoso “problema di Delo” degli antichi Greci, risolto dal pitagorico Archita, e che consisiteva nel raddoppiare il volume dell’altare cubico dei sacerdoti di Apollo.

Con la ripetizione dell’atto cosmogonico, non solo lo spazio profano si riorganizza in uno spazio sacro dotato di uno o più Centri, ma anche il tempo ordinario è proiettato in illo tempore, istante sacro in cui è avvenuta la fondazione del Mondo. Lo stesso principio vale naturalmente per tutti i miti successivi all’atto cosmogonico, che hanno stabilito il tempo mitico dell’inizio, quando cioè l’atto divino è stato compiuto per la prima volta. Ogni mito, compreso l’atto cosmogonico, ci riporta dunque in uno spazio sacro e in un tempo sacro, rispettivamente il Centro e l’Inizio di un atto archetipico compiuto da un dio per la prima volta. I riti e le credenze dei popoli hanno avuto poi il compito di rigenerare i miti per mezzo della ripetizione e dell’imitazione degli archetipi divini, dando la possibilità agli uomini di diventare periodicamente contemporanei degli dèi.

In definitiva, è con l’eterno ritorno al mito archetipico che spazio e tempo profano vengono aboliti per via di una consacrazione. Sacro e archetipo, nella visione antropologica di Eliade, divengono perciò sinonimi. Ed è questa stretta analogia, sempre secondo il mitologo rumeno, a dirci che la storia del cosmo non è una sequenza temporale di eventi umani, ma “storia sacra” conservata e trasmessa dai riti, gli unici in grado di rigenerare indefinitamente le società degli uomini nell’acqua battesimale degli archetipi

I consigli di Gurdjieff per vivere meglio

Le antiche cosmologie orientali hanno da sempre immaginato la materia che compone l’universo come una danza in uno stato di vibrazione continua. Lo credeva anche Gurdjieff, maestro di danze armene e filosofo mistico noto in Occidente. I suoi insegnamenti, frutto di un mirabile intreccio tra musica pitagorica e tradizione alchemica, ci raccontano di un universo fatto di frequenze (come quelle delle note musicali) e di gradazioni diverse di materialità, che stabiliscono il livello di rarefazione e di condensazione di tutte le sostanze. Frequenza delle vibrazioni e densità della materia risultano poi inversamente proporzionali tra loro, nel senso che minore è la frequenza di una vibrazione (più bassa è una nota) e più densi e pesanti sono gli atomi che compongono la materia.

Gurdjieff faceva spesso riferimento alla “tavola degli idrogeni”, molto simile per concezione alla tavola periodica degli elementi chimici. In uno e nell’altro caso, idrogeni ed elementi vengono ordinati dall’alto verso il basso all’aumentare del peso atomico. Nella parte bassa della tavola degli idrogeni si trovano, così, le sostanze più pesanti e dense: ferro (idrogeno H3072), legno (H1536), cibo per uomo (H768), acqua (H384), aria (H192), fuoco, gas rarefatti, ormoni, vitamine, magnetismo animale, emanazioni del corpo umano (tutti idrogeni H96). Nella parte più alta della tavola, dall’idrogeno 48 all’idrogeno 6, c’è invece la materia più rarefatta e leggera, che contraddistingue tutti i fenomeni psichici e spirituali. La chimica di Gurdjieff considera pertanto non solo le proprietà ordinarie della materia, quelle cioè che sono note ai fisici e ai chimici, ma tiene conto anche di sostanze invisibili e non direttamente percepibili, come appunto quelle psichiche e spirituali, purtuttavia presenti nel cosmo e a cui va attribuito un ruolo essenziale nell’evoluzione degli esseri umani.

E’ importante tener presente che gli idrogeni più rarefatti, essendo diffusi ovunque nel cosmo per mezzo di onde che vibrano a determinate frequenze, sono peraltro rintracciabili in ogni individuo in virtù di un doppio principio di relatività: il primo prevede che le materie più fini sono in grado di permeare quelle più grossolane (ad esempio, un gas può pervadere un liquido, che a sua volta può infiltrarsi in un pezzo di legno); il secondo principio è il famoso motto esoterico “come in alto così in basso”, con il quale si stabilisce che il microcosmo-uomo è un macrocosmo in miniatura, dotato delle stesse leggi e degli stessi elementi. L’obiettivo principale per l’evoluzione di ognuno di noi è quello, allora, di saper individuare e conservare gli idrogeni fini. A tal proposito, Gurdjieff fa l’esempio della respirazione. Respiriamo tutti la stessa aria (idrogeno 192), ma sebbene l’aria inspirata da persone diverse sia esattamente la stessa, l’aria espirata può essere molto diversa. Dal momento che gli idrogeni più fini permeano l’aria, possiamo catturarli con una semplice inspirazione, ma poi, con la successiva espirazione, dovremmo essere in grado di trattenere proprio gli idrogeni che sono simili a quelli di cui già disponiamo stabilmente dentro di noi, e che, per un principio di risonanza sonoro, fungono da magneti per le sostanze fini che inspiriamo. Non a caso, un’antica legge alchemica ricordava che “per creare l’oro, occorre avere già una certa quantità di oro dentro noi stessi”. L’alchimia, dunque, diventa per Gurdjieff la descrizione allegorica più appropriata del processo di evoluzione interiore cui è chiamato ogni individuo, e che consiste principalmente nel trasformare la materia prima – equivalente agli idrogeni grossolani della materia ordinaria – nella pietra filosofale, l’elisir di lunga vita costituito dagli idrogeni fini dei processi psichico-spirituali

Per conservare gli idrogeni fini, sempre secondo il pensiero di Gurdjieff, abbiamo bisogno di due scosse addizionali, che possono arrivare solo da atti consapevoli di volontà. Anche in questo caso, il filosofo armeno ricorre all’analogia musicale di una scala maggiore, formata da sette intervalli con prima e ultima nota distanti un’ottava. Ai musicisti è noto che il terzo e il settimo intervallo della scala sono intervalli di un semitono, a differenza degli altri cinque, che sono invece intervalli di un tono. Per avere una progressione costante di toni, bisognerebbe aggiungere, in prossimità degli intervalli più brevi, due frequenze dell’ordine di un semitono (dette appunto “scosse addizionali”). In modo analogo, per mantenere un controllo costante sulla nostra evoluzione personale, occorre aggiungere due sforzi coscienti: il primo ci esorta ad un lavoro specifico sull’emotività, tale da trasmutare le emozioni negative che intralciano la vita in emozioni positive che elevano spiritualmente; il secondo consiste invece nel conoscere (o ricordare) se stessi, il che equivale a riconoscere gli idrogeni fini presenti stabilmente nella nostra interiorità.

Un ulteriore compito che ci spetta, sempre in prospettiva di una crescita interiore, è quello di rendersi conto di tutti gli sprechi di energia che possono compromettere la conservazione degli idrogeni fini nel nostro organismo. Per comprenderlo meglio, Gurdjieff invitava i suoi allievi a immaginare l’uomo come una fabbrica chimica composta da tre centri operativi: il centro fisico, composto da intelletto, istinto, emozioni e sessualità; il centro emozionale superiore (o corpo astrale), contenente i daimones e le voci interiori; il centro intellettuale superiore, caratterizzato dagli stati estatici, mistici e di pre-morte. Il lavoro su se stessi dovrebbe principalmente servire per stabilire un contatto tra i centri, ma ciò è reso possibile solo ottimizzando il lavoro della fabbrica chimica. Corretta alimentazione, esercizi specifici sulla respirazione e pratiche spirituali coadiuvate da figure guida possono senz’altro favorire la comunicazione dei centri, ma bisognerà comunque evitare che la fabbrica sprechi le sue preziose risorse, come invece abitualmente accade nei casi di eccessi di rabbia, di emozioni negative e spiacevoli, di preoccupazioni immotivate, di stati di inquietudine, di dubbi e di paure, di parlare logorroico, di eccessivo fantasticare, di sbalzi di umore, di tensioni muscolari inconsce e di posture innaturali.

Per concludere, non dovremmo mai dimenticare che tutti i processi psichici e spirituali hanno sempre a che fare con la materialità, seppure distinta nei suoi diversi gradi di condensazione e rarefazione. Tutto ciò non fa che avvalorare una volta di più la figura un po’ oscura degli alchimisti, a torto comparati a degli stregoni dall’entourage intellettuale. Un’unica voce fuori dal coro, quella di Carl Gustav Jung, ebbe il coraggio di proseguire la strada tracciata da Gurdjieff, ipotizzando che i criptici simboli alchemici e gli intrugli chimici delle fucine medioevali altro non sono che la testimonianza tangibile di un regno intermedio tra materia e spirito, in cui il fisico e lo psichico si fondono in un’unità indivisibile.

32 giorni per contagiare l’umanità

Si è sentito spesso parlare in questi giorni dell’indice di contagio R0, ovvero del numero medio di persone contagiate da ciascun individuo infetto da un virus patogeno. Questo numero, dunque, misura la potenziale trasmissibilità di una malattia infettiva e, naturalmente, la sua capacità di diffondersi su una popolazione. Per quanto concerne l’epidemia attuale, l’indice R0 è stato stimato in un intervallo compreso tra 2,7 e 3,5, il che significa che il Covid 19 è un virus particolarmente contagioso. Ma cosa significano queste stime in termini di tempi di un’epidemia e di numero di persone infette? Per semplicità di calcolo, supporremo, nelle nostre proiezioni, che l’effetto-contagio per ogni infetto si esaurisca nell’arco di una giornata.

Supponiamo ora che R0 sia uguale ad 1. Questo significa che, partendo per esempio da una coppia di “pazienti zero”, dopo due giorni avremo 4 infetti, dopo tre giorni 6 infetti, …., dopo 32 giorni 64 infetti. Quindi il totale y degli infetti dopo n giorni è calcolato dalla legge lineare y = 2 moltiplicato per n (con 2 numero costante di nuovi infetti al giorno ed n numero di giorni dalla diffusione del contagio).

Se invece prendiamo R0 uguale a 2 e partiamo sempre da una coppia di “pazienti zero”, al secondo giorno avremo 4 nuovi infetti, al terzo giorno 8 nuovi infetti (2 elevato alla 3),….al 32-esimo giorno 2 elevato alla 32 nuovi infetti. In questo caso, il numero di nuovi infetti dopo n giorni dall’inizio del contagio è calcolato dalla legge esponenziale y = 2 elevato alla n, mentre il totale y degli infetti dopo n giorni è dato sempre da una legge esponenziale, che è pari a y= (2 elevato alla n+1) meno 1.

In matematica, ma anche in altre discipline scientifiche e umanistiche, quando si parla di “crescita esponenziale”, si intende sempre qualcosa che aumenta repentinamente (e non costantemente, come si è visto nel caso di legge lineare). Nell’esempio specifico del Covid 19 con R0 uguale a 2, ci saranno, in progressione, 2047 contagi dopo 10 giorni, 65.535 dopo 15 giorni, 2.097.151 dopo 20 giorni, più di 67 milioni dopo 25 giorni, più di 2 miliardi dopo 30 giorni. Dopo 32 giorni, con 8 miliardi e mezzo di contagi previsti, il virus avrebbe dunque, “ad abundantiam”, contagiato l’intera popolazione umana.

Considerato che sulla contagiosità intrinseca del virus non si può intervenire, l’unico modo per ridurre il parametro R0 è il ricorso a strumenti quali l’autoisolamento, la distanza sociale e l’uso di misure di protezione (principalmente mascherine, guanti o pulizia delle mani).

Valori auspicabili dell’indice R0 sono tutti quelli inferiori ad 1, gli unici a garantire che il numero di nuovi contagi decresca fino a tendere a zero, decretando così la fine della pandemia. Che Dio ce la mandi buona.

Numeri che resuscitano i morti

Quante volte ci sarà capitato di rabbrividire al solo pensiero che i defunti possano ancora comunicare con noi. Di certo è nei sogni che essi ci appaiono più di frequente, magari per darci qualche saggio consiglio o per suggerirci dei numeri da giocare al lotto. Numeri che ci giungono dall’aldilà possono anche avere a che fare con le date di nascita o di morte di persone care ci hanno lasciato. Come ad esempio le cifre 1, 7 e 4, che mi capita spesso di vedere sulle targhe automobilistiche. Per molto tempo la cosa mi risultò curiosa seppur inspiegabile, fin quando un giorno fui invitato alla commemorazione di un evento tragico, il suicidio del mio caro amico Fabio. Il ritrovo tra familiari e amici stretti era previsto il 17 aprile, a dieci anni esatti dalla sua scomparsa. Non ci volle molto a capire che la ricorrenza numerica sulle targhe automobilistiche potesse essere un segnale della presenza di Fabio, che tra l’altro con le automobili aveva molto a che fare. Era infatti un grande appassionato di motori, e per di più, si tolse la vita all’interno della sua macchina inalando il gas di una bombola a uso domestico. Così come mi fu anche più facile capire perché quei numeri apparissero con maggior frequenza nei pressi della stazione, luogo in cui Fabio ebbe un’esperienza di pre-morte subito dopo un grave incidente motociclistico. Ugualmente, i numeri di un evento luttuoso fecero la loro ricomparsa nella vita di Maurizio Battista, attore comico e cabarettista molto amato dal pubblico romano. Il destino lo privò prematuramente della madre quarantenne, la quale ricevette sepoltura il 3 agosto 1980 alle ore 13 e 15. Trentasei anni dopo quel triste evento, all’età di 59 anni, Battista è diventato padre della terzogenita Anna, che oltre a portare lo stesso nome della nonna, è stata partorita, guarda caso, il 3 agosto alle ore 13 e 15.

La singolare coincidenza sperimentata da Maurizio Battista rientra in uno dei casi che in psicogenealogia – ambito di ricerca che si occupa del legame psichico esistente tra le generazioni di un medesimo albero genealogico – è noto come “sindrome da anniversario”. Fu Anne Ancelin Schützenberger, sociopsicologa e psicoterapeuta francese, a denominare con tale termine la ripetizione di date o di età negli avvenimenti importanti – in genere nascite, matrimoni, incidenti, malattie o decessi – che coinvolgono una famiglia e i suoi antenati. Uno degli esempi che la Schützenberger riporta nel libro “La sindrome degli antenati”è quello di una sua studentessa, Cendrine, la cui madre morì di cancro il 12 maggio. Un anno più tardi, sempre il 12 maggio, fu uno zio materno a morire in un incidente mortale. Come se non bastasse, sfogliando i documenti di famiglia, si scoprì che altri due nonni erano morti proprio il 12 maggio e che un prozio, padrino del nonno, era stato ucciso in guerra nella stessa data. La sindrome da anniversario non fa sconti nemmeno alle famiglie più nobili e famose. Nel giorno in cui venne assassinato, il 22 novembre 1963, si disse che John Fitzgerald Kennedy trascurò incautamente di mettere il tettuccio antiproiettile alla sua vettura nonostante le minacce di morte ricevute. Ma c’era un altro dettaglio che avrebbe dovuto allertarlo, e cioè la data di morte del suo bisnonno Patrick, avvenuta il 22 novembre 1858.

Per quanto concerne la ripetizione di età, uno dei casi più interessanti rilevato dalla Schützenberger è quello di Charles, uomo di 39 anni, operato per un cancro ai testicoli, e che sei mesi dopo ha delle metastasi ai polmoni. Risalendo nel suo albero genealogico, si scopre che suo nonno paterno è morto a 39 anni per un calcio di un cammello nei testicoli, mentre il nonno materno è morto a 39 anni e mezzo per problemi polmonari. A tutto ciò si aggiunga la coincidenza di età tra la figlia e la madre di Charles, che a 9 anni vivono entrambe l’esperienza di malattia o di morte del padre. Semplici coincidenze numeriche o coercizioni familiari nascoste?

Lo psichiatra ungherese Ivan Boszormenyi-Nagy sostiene che ogni discendenza consanguinea tende a strutturarsi su legami di lealtà, i quali, come fibre invisibili ma solide, uniscono i comportamenti relazionali della famiglia. Usò il termine “lealtà familiare invisibile” per definire un flusso psicoenergetico di tipo sistemico, che mira a far sopravvivere nel tempo un gruppo familiare e renderlo efficiente in quanto corpo unificante, identificante e protettivo. La sistematicità di tale flusso psichico può esplicarsi attraverso due modalità: la prima garantirebbe la similarità di destini tra i componenti familiari, come accade ad esempio nei casi di sindrome da anniversario; la seconda, invece, avrebbe la funzione di un vero e proprio sistema contabile (Boszormenyi-Nagy lo chiama “Grande libro dei conti di famiglia”), in cui vengono stabiliti i debiti familiari inconsci per le future generazioni. In questa specie di registro akashiko familiare, ad esempio, trasgressioni e colpe dovrebbero bilanciarsi, mentre al credito della nascita e delle attenzioni ricevute nei primi anni di vita corrisponderebbe, in età adulta, il debito del sacrificio nei confronti dei genitori. Parimenti, le morti precoci provocherebbero la sterilità della discendenza femminile, giacché l’informazione del passato familiare suonerebbe come monito del tipo “perché fare dei figli se poi muoiono presto”. Le violenze sessuali subite, dal canto loro, andrebbero ad accentuare la mascolinità delle donne di famiglia, favorendo con ciò il loro accoppiamento con partner effeminati, sui quali, eventualmente, riscattare i torti subiti dalle antenate. La discalculia invece – disturbo specifico delle abilità aritmetiche, che causa difficoltà nell’eseguire calcoli e nel processare con i numeri (ad esempio leggerli, scriverli, riconoscerne la grandezza, disporli in ordine crescente o decrescente) – potrebbe avere a che fare con i fallimenti economici di uno o più antenati, per cui le cifre dei bilanci in rosso rimarrebbero latenti nel substrato psichico familiare, e in qualità di “fantasmi numerici” del passato, andrebbero a favorire il meccanismo di rimozione nelle generazioni future.

Numeri che avvicinano al sapere assoluto

Nel corso della sua storia millenaria l’umanità si è interrogata spesso sull’esistenza di un “sapere trascendente”, che si sottrae ad ogni logica e che sembra coordinare l’accadere degli eventi. L’uomo primitivo attribuiva a questo misterioso sapere un potere magico e soprannaturale. Si pensava, per esempio, che fosse lo spirito di un nemico a causare la malattia o la morte, mentre era uno stregone a mandare il coccodrillo che nel fiume aggrediva qualche malcapitato. Nell’antica Cina la “causalità magica” dei primitivi divenne il senso del Tao, invisibile e impercepibile, che organizza l’ordine universale con la semplice alternanza di due forze complementari, madre-Yin e padre-Yang di tutto ciò che accade. In Occidente fu l’enantiodromia di Eraclito a proporsi come la filosofia più fedele al pensiero taoista. Il sapere assoluto, che conferiva senso e ordine a tutta la realtà conoscibile, era immaginato come un processo unico e invariante di fusione tra mutamenti ed opposti ambivalenti. Un secolo dopo, sempre in Occidente, Platone formulò la sua dottrina delle Idee, che prevedeva l’esistenza di una conoscenza trascendente capace di mettere in contatto il mondo eterno e immutabile delle Idee-archetipi con tutte le cose mutevoli del mondo fisico. Secondo la filosofia di Platone, ogni dettaglio microcosmico del mondo materiale tende ad imitare la perfezione dei modelli-Idee, perché aspira a ritrovare una sua corrispondenza nell’intellegibilità sovraordinata del macrocosmo. La stessa concezione totalitaria è presente nel Tao, dove gli eventi singoli non contano in sé e per sé, ma risuonano sempre con qualcosa di simile nel quadro cosmico generale. Deve pertanto esistere, da qualche parte, un sapere assoluto, che trova la sua manifestazione attraverso un rapporto di similitudine tra microcosmo e macrocosmo. Fu questo il credo esoterico posto a fondamento di tutte le pratiche di alchimia, magia e astrologia.

“È vero senza menzogna, certo e verissimo, che ciò che è in basso è come ciò che è in alto e ciò che è in alto è come ciò che è in basso per fare i miracoli di una sola cosa. E poiché tutte le cose sono e provengono da una sola, per la mediazione di una, così tutte le cose sono nate da questa cosa unica mediante adattamento.”

Sono le parole di Ermete Trismegisto, incise su una tavola di smeraldo ritrovata in Egitto prima dell’era cristiana e che costituiscono il compendio dell’antica tradizione ermetica. L’adattamento cui fa riferimento Ermete Trismegisto divenne la “simpatia di tutte le cose” (simpateia ton olon) di Posidonio, filosofo di Rodi vissuto nel primo secolo avanti Cristo. La sua dottrina conferì all’uomo, materiale nel corpo e ultraterreno nell’anima, la funzione intermediaria tra mondo terreno e sfere celesti. Da questa premessa ispiratrice fiorirono la teoria medioevale della corrispondentia e la filosofia neoplatonica del periodo rinascimentale.

Simpateia e corrispondentia furono, nondiméno, concetti imprescindibili nel pensiero di due illustri medici dell’antichità. Ippocrate immaginò la simpatia come “un unico confluire, un unico cospirare sentendo tutto insieme”, mentre Paracelso localizzò nell’essere umano l’unica corrispondenza possibile di tutto ciò che accade in terra e in cielo. Per Keplero, invece, era nel cuore della Terra, dove la temperatura sotterranea si mantiene costante, che andava ricercato il segreto della corrrispondenza. Lì era custodita l’anima terrae, una specie di grembo materno dotato di facultas formatrix, da cui nascevano le geometrie di metalli, minerali, fossili e cristalli, che poi anticipavano nella forma e nella sostanza tutti gli oggetti del mondo esterno. L’anima terrae era anche responsabile dei fenomeni meteorologici; ad esempio, la pioggia eccessiva era considerata come un sintomo di malattia della Terra. Un tale assunto era peraltro in linea con la visione geocentrica dell’astrologia tolemaica, che prevedeva la Terra, e non i pianeti, come sede di sincronicità degli eventi.

Un secolo dopo, ispirato dalla teoria kepleriana, fu Leibniz a sviluppare il suo pensiero filosofico incentrato sul concetto di “monade”. L’atomismo materiale di Democrito venne così rimpiazzato da un atomismo spirituale, una sinfonia di universi in miniatura, indipendenti tra loro ma in grado di accordarsi in virtù di un sapere assoluto e divino. Leibniz chiamò harmonia praestabilita questa conoscenza a priori, per mezzo della quale Dio forma le sostanze individuali in modo così perfetto che esse si accordano per necessità, seguendo ciascuna le sue leggi preordinate.

Nel secolo diciottesimo il fascino di un sapere trascendente, simile ad un regista divino che coordina l’accadere delle cose, fu oscurato definitivamente dal determinismo di Newton, unica possibilità di concepire la materia attraverso la mente. Ma già a metà del diciannovesimo secolo, pur in un clima generale di ostinato materialismo, l’antica credenza di un Tutto intelligentemente connesso riapparve nella filosofia audace e rivoluzionaria di Schopenhauer. Il suo breve trattato Speculazione trascendente dell’apparente disegno intenzionale nel destino dell’individuo, che tanto influenzò sia Freud che Jung, inizia con la citazione di Plotino “il caso non esiste nella vita, ma c’è solo un ordinamento armonico”. Il filosofo di Danzica era convinto che, a fianco della legge di causalità fisica, responsabile solo in parte degli eventi del mondo materiale, agisse una volontà trascendente paragonabile alla divina provvidenza. L’antico motto “sic erat in fatum” andava visto, allora, come un apparente disegno intenzionale, capace di unire la contingenza dei fenomeni con l’intima necessità di ogni individuo. La fervida immaginazione di Schopenhauer vedeva il processo del mondo come un’infinità di singole catene di cause e effetti, assimilate a dei meridiani che scendono dal polo nella direzione del tempo e che risultano connessi reciprocamente tra loro da cerchi paralleli. I caratteri dei singoli individui apparirebbero così legati tra loro da eventi che, pur apparentemente privi di rapporto causa-effetto, poiché appartenenti a meridiani diversi e lontani nello spazio, si troverebbero in un certo istante connessi simultaneamente dai paralleli orizzontali, proprio come avviene nelle coincidenze significative della sincronicità.

Comunque si tenti di dare nome o forma ad un sapere assoluto e numinoso, in grado di legare sensatamente tutti gli eventi del mondo vivente e inanimato, pare che ad esso non sia mai concesso di rivelarsi completamente. E agli esseri umani, di questa conoscenza arcana, non rimane che la copia sbiadita e nebulosa, un sapere apparente che può essere reso al più verosimile o probabile. La verità sulle cose è rimasta così da sempre inaccessibile per i comuni mortali, e solo alle muse dell’Olimpo, come scritto nella Teogonia di Esiodo, era concessa la prerogativa divina di rendere le bugie simili al vero.

Le bugie delle muse possono trapelare dai sogni e dalle narrazioni mitiche, dalle figure allegoriche dell’alchimia e della cartomanzia, da intrecci planetari o da formule magiche. Il loro senso usa rivelarsi per simbolismi analogici e non assecondando i ragionamenti della causalità. Sono questi i cenni criptici di un sapere numinoso, dotato di coscienza sfumata che però si sottrae alla logica della mente umana. E’ un sapere “preconcettuale” e privo di soggetto, simile al sapere delle monadi di Leibniz o alla volontà trascendente di Schopenhauer. Nelle coincidenze della sincronicità è sempre un sapere acausale a coordinare gli archetipi dell’inconscio collettivo. Jung li paragonò a nuvole di conoscenza, che si condensano come nuclei di un campo psichico, da cui scaturiscono immagini, simboli e numeri. Sono nuvole di conoscenza anche le tecniche divinatorie, che generando casualmente eventi sincronistici mediante monete, achillee, dadi, fondi di caffè, carte e altro, creano il fato per sapere “che cosa ne pensi l’inconscio” del futuro.

Le nuvole di conoscenza possono arrivare dal cielo, come quel numero che Prometeo dona all’umanità poiché condensato di suprema saggezza; ma possono anche emergere dalla profondità delle acque, sotto forma di un quadrato magico sul dorso di una tartaruga, per dar origine alla più antica tecnica divinatoria che gioca con i 64 numeri dell’I-Ching. Anche secondo Pitagora il sapere assoluto si rivelava sempre travestito da numero, l’unico daimon possibile tra il divino e i fenomeni manifesti della natura. Fu lui per primo a rimanere estasiato dal sorprendente legame tra alcuni semplici rapporti numerici e le note musicali. Era la prova tangibile di una coscienza numerica in grado di coordinare le leggi naturali, e l’unico privilegio che rimaneva agli esseri umani era quello di scoprire nel tempo il mirabile ordine nascosto in eterno nell’universo. E’ ancora una coscienza numerica a rivelarci le dimensioni frazionarie dei frattali, che tanto estasiarono un incredulo Benoit Mandelbrot in tempi più recenti. Seguendo lo stesso percorso tracciato da Leibniz, il matematico polacco scoprì che era una nuova harmonia praestabilita, l’autosomiglianza, a generare universi in miniatura – alberi, tuoni, nuvole, cristalli di neve, coste, catene montuose – e a modellare la geometria complessa della natura mediante semplici rapporti logaritmici.

La fisica moderna ha ipotizzato che l’universo stesso può essere immaginato come un unico frattale, in cui nessuna parte è più fondamentale di altre e dove ogni particella è in reciproca interdipendenza con tutte le rimanenti. E’ l’ipotesi del bootstrap, secondo la quale esisterebbe un’unica matrice di probabilità (nota come matrice S) in grado di prevedere le possibili interazioni nucleari tra adroni, particelle responsabili di tutte le strutture atomiche e molecolari. L’intero universo di adroni genererebbe così se stesso, autoreggendosi e autodeterminandosi nell’unico modo previsto dalla matrice S, la moderna rete di Indra del buddismo Mahayana.

Il Tao della fisica moderna è allora un universo simile ad un mega intreccio particellare, dove il sapere assoluto è la misteriosa “connessione simultanea a distanza” caratteristica dell’entanglement, traducibile in termini matematici ma che trascende le spiegazioni causali dell’intelletto umano. E’ un sapere dotato di protocoscienza numerica anche quello dei numeri quantici, che conferiscono univocamente ordine e forma alle strutture atomiche di tutti gli elementi presenti in natura. Sono di natura probabilistica, al pari della matrice S, la legge dei grandi numeri, il moto browniano, l’entropia e il principio di indeterminazione quantistica, strumenti matematici che spiegano perché percepiamo lo scorrere del tempo e “cosa e come possiamo osservare” dei fenomeni fisici. Sono le leggi numeriche di un sapere apparente, che rendono approssimativo un sapere assoluto altrimenti inconoscibile, nel cui profondo è nascosta la Verità dei presocratici e “il presente in tutti i suoi dettagli” di Heisenberg. In una lettera indirizzata a Jung e datata 12 dicembre 1950, Pauli paragonò le leggi della fisica agli archetipi delle arti divinatorie e della psicologia, postulando l’esistenza di diversi tipi di ordinamento olistico e acausale in natura, all’interno dei quali agiscono spontaneamente principi ordinatori e formativi di immagini, numeri e formule matematiche.

Esiste dunque un sapere assoluto, inizialmente inconoscibile, che giace in un eterno presente privo di limiti spaziotemporali, ma che può essere avvicinato da un sapere apparente fatto di nuvole di conoscenza. Queste “chiazze” di sapere approssimato sono prodotte da nuclei energetici ordinatori e formativi – gli archetipi – che agiscono olisticamente ad ogni livello di manifestazione della realtà. Se la realtà è quella psichica, saranno gli archetipi dell’inconscio collettivo a rendersi conoscibili attraverso immagini, simboli e numeri; se la realtà è quella dei fenomeni fisici, gli archetipi generano costanti universali, modelli matematici e leggi probabilistiche, rendendo così conoscibile e verosimile, su scala macroscopica, un sapere assoluto distribuito sui dettagli di una fittissima rete microscopica, onnicomprensiva e onnipresente, in cui le nozioni di spazio e tempo, così come concepite dalla coscienza degli esseri umani, vengono a dissolversi.

Sin dai tempi antichi i velieri della conoscenza hanno seguito le mappe numeriche di un sapere apparente pur di non perdersi nelle acque infinite e negli abissi insondabili di un sapere assoluto. Fu da quei mari interminabili e lontani da terre sicure, invero, che evaporarono in cielo nuvole di conoscenza e rotte di navigazione. Filosofi saggi e barbuti, ma anche moderni fisici in camice bianco, riordinarono i pezzi di un puzzle cosmico dalle cui combinazioni emersero sorprese inimmaginabili. Scoprirono, per esempio, strani isomorfismi tra gli esagrammi dell’I-Ching e i codoni del DNA, tra gli arcani maggiori della cartomanzia, le lettere dell’alfabeto ebraico e gli aminoacidi partenogenetici. E’ così, del resto, che amò rivelarsi il senso arcano di un sapere primordiale ed eterno dell’esistenza, dotato di coscienza numerica, che non fa differenza alcuna tra materia e psiche, tra fisica e psicologia, tra biologia e divinazione, tra passato e futuro. E per contemplarne i prodigi, basterebbe imbarcarsi su quei velieri ondeggianti, attendere l’imbrunire e fingerci quel giovinetto, che ascolta Archimede mentre loda l’orbita di Urano in una notte stellata.

“Ciò che tu vedi nel cosmo non è che il riflesso del divino, nella schiera degli Olimpi troneggia il numero eterno.”

Un antico zodiaco numerico per la psicologia moderna: l’enneagramma

Il prossimo fine settimana terrò un seminario, assieme alla preziosa collaborazione di Agnese Ujcich, su uno dei temi più affascinanti e dibattuti della psicologia comportamentale moderna: l’enneagramma. Che cos’è l’enneagramma? Mi piace definirlo “zodiaco numerico”, e in effetti di questo si tratta. I nove enneatipi che formano l’enneagramma, al pari dei dodici segni zodiacali, sono degli archetipi comportamentali o, per usare le parole di Jung, dei “modelli primordiali di comportamento umano”. Nel loro insieme costituiscono un deposito ancestrale dei tipici modi di reagire dell’umanità – indipendentemente da differenziazioni storiche o etniche – in situazioni quali la paura, il pericolo, le relazioni fra i sessi o fra figli e genitori, il bisogno di protezione e di appartenenza, il comportamento di fronte all’odio e all’amore, la dedizione al lavoro o il modo di rapportarsi con gli altri.
Gli archetipi comportamentali li troviamo descritti, fin dai tempi più remoti, nei miti e nelle fiabe di tutte le culture, ma si incontrano anche in epoche più recenti nelle opere letterarie, nei romanzi e nei film delle moderne sale cinematografiche. Viene da chiedersi perché l’umanità ha sempre sentito il bisogno di raccontare i suoi “modi di reagire” alle esperienze di vita. Evidentemente, per conscersi meglio psicologicamente. Allo stesso modo, le conoscenze approfondite dei segni zodiacali o degli enneatipi diventano utili “strumenti psicologici di ricerca interiore”, veri e propri chiavistelli per aprire al senso delle nostre esistenze.
Alcuni anni fa fu un seminario sull’enneagramma, proprio dal titolo “I nove volti dell’anima”, ad attirare la mia curiosità. Inizialmente mi venne da pensare che si trattasse di un modo come altri di classificare in categorie gli esseri umani, ma poi mi resi conto che, dietro quella categorizzazione, si nascondeva qualcosa di molto profondo, e cioè una miscela tra antico esoterismo matematico e psicosociologia moderna. In sostanza, è una sequenza numerica a svelare i segreti di un percorso interiore ottimale nella vita. Ho voluto mantenere quel titolo, un po’ in ricordo della mia esperienza personale ma, soprattutto, perchè la finalità del seminario è di offrire ai partecipanti la possibilità di riconoscere la vera identità dell’ anima.
Ciò che distingue essenzialmente un segno zodiacale da un enneatipo è la modalità di appartenenza. Se nell’astrologia il segno è deciso semplicemente dalla data di nascita, l’appartenenza ad uno specifico enneatipo è stabilita da come è stata vissuta la nostra infanzia. A metà degli anni Cinquanta, Karen Horney disse che “di fronte ad un mondo ostile il bambino, per la sensazione di sentirsi isolato, impotente e non amato, sviluppa un’angoscia di base. Ciò lo porta ad affinare una tattica per far fronte alle forze dell’ambiente che agiscono ai danni della sua sopravvivenza. In seguito, nella sua vita, si svilupperanno inconsciamente dei tratti permanenti del carattere, che poi costituiranno la sua personalità di base”. Karen Horney fu anche pioniere della psicologia della “Gestalt” (forma strutturata dotata di senso), che fa riferimento ad un’attitudine psichica in grado di percepire, elaborare parte di stimoli esterni ed edificare una struttura caratteriale a noi consona e apparentemente soddisfacente. Da questa prospettiva il carattere diventa così una struttura cristallizzata e preformata, che reagisce rigidamente solo a determinate interazioni con l’ambiente.
L’enneatipo va visto allora come una “gabbia dell’agire quotidiano”, assimilabile ad una “prigione del bambino interiore”, che per paura di non essere stato amato e protetto nella prima infanzia, fu costretto a snaturare l’essere autentico pur di garantire la propria sopravvivenza.
Conoscere il proprio enneatipo significa “ritornare consapevolmente alle strategie distorte del passato per smontare gli automatismi del presente e del futuro”. Va anche detto che l’appartenenza ad un enneatipo, così come quella ad un segno zodiacale, non cambia nella vita. Ciò che può servire, sicuramente, per un vivere più autentico, è la consapevolezza di navigare meglio possibile nel “fiume della nostra vita”. E proprio come in un fiume, possiamo scegliere se scendere a valle, seguendo conformisticamente il flusso naturale, come fa la maggior parte delle persone, oppure, come hanno il coraggio di fare solo in pochi, cercare di risalire la corrente e riconoscere la sorgente originaria, per vivere coraggisamente un destino diverso, che ci appartiene nell’intimità più profonda, perchè è quello della nostra anima pura e incontaminata, quello che che ci è stato affidato al momento della nascita.
E’ questo il compito più importante di tutti, come avevano capito bene i nostri antenati. “Gnothi seautón” (conosci te stesso) era scritto a caratteri cubitali sul frontone del tempio di Apollo a Delfi, l’oracolo più famoso dell’antichità che veniva visitato per avere informazioni sul futuro.
Il compito principale nella nostra esistenza è, allora, saper distinguere la vera identità da falsi e nevrotici individualismi. E, come insegna la psicologia moderna, i comportamenti nevrotici si sbloccano solo se portati a livello cosciente. In tal senso, la teoria dell’enneagramma si pone come utile dottrina che, prima ci insegna a riconoscere in quale “gabbia caratteriale” siamo stati imprigionati da piccoli, e poi ci dona la chiave per uscire dalla schiavitù di un falso vivere e riconoscere il volto della nostra anima.

La responasabilità degli insegnanti nella comprensione della matematica

“Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante che non sa spiegare. Nè vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi così come sono, richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altro nome. Se l’insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro sè e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento.”

Sono le parole di Giuseppe Peano (1858 -1932), eccentrico matematico piemontese. Si racconta che più di una volta, perduto dietro ai suoi calcoli, dimenticò di presentarsi alle sessioni di esame^[. Il suo contributo più importante nella matematica furono gli assiomi che definivano l’insieme dei numeri naturali, i quali vennero ripresi anche dal filosofo matematico Bertrand Russell nei suoi Principia Mathematica. In sostanza gli assiomi di Peano affermano che l’insieme dei numeri, quello dei numeri che contiamo con le dita di una mano, e cioè 0, 1, 2, 3, 4, ecc…, può essere anche definito così: basta stabilire che vi sia un primo elemento e che, dopo ogni elemento, esiste sempre un elemento immediatamente successivo. Altrimenti detto, si può sempre affermare che un insieme ha le stesse caratteristiche di un insieme di numeri naturali purchè si è in grado di disporre in fila uno dietro l’altro i suoi elementi, anche se in numero infinito.

Peano fornì anche il primo esempio di una curva che riempie una superficie (la cosiddetta curva di Peano), che fu anche uno dei primi esempi di frattale di fine Ottocento. L’obiettivo di tale “paradosso” geometrico, che lasciò i matematici di allora molto sorpresi e perplessi, era di evidenziare che anche una curva, ente geometrico ad una sola dimensione (e che Euclide aveva definito fin dall’antichità come “lunghezza senza larghezza”), poteva avere la strana proprietà di riempire tutto un quadrato, figura a due dimensioni, che si estende geometricamente sia in lunghezza che in larghezza.

Numeri e divino nella filosofia di Pitagora

Pitagora di Samo nacque nei primi anni del sesto secolo avanti Cristo, quello del risveglio spirituale, di cui vide la fine poiché si racconta che visse almeno ottanta anni. In questa lunga vita accumulò, nell’espressione usata da Empedocle, “tutto ciò che contengono dieci o anche venti generazioni umane”. Figlio di un orefice-gioielliere di nome Mnesarco, ebbe due maestri: l’ateo e rivoluzionario Anassimandro, il quale affermava che la Terra è sospesa nello spazio perché non ha alcuna direzione privilegiata da seguire, e il mistico Perekyde, che insegnava la trasmigrazione delle anime. Probabilmente viaggiò a lungo in Asia Minore e in Egitto, fino a stabilirsi attorno ai trent’anni a Crotone, dove fondò una confraternita che era un ordine religioso e al tempo stesso un’accademia scientifica. In breve si fece di lui un semi dio, figlio dell’Apollo iperboreo, l’unico in grado di discendere nell’Ade, far miracoli e conversare con animali e demoni.

L’essenza e la forza della visione pitagorica del mondo era il suo carattere comprensivo e unificante. In essa tutte le parti componenti, religione e scienza, matematica e musica, medicina e cosmologia, corpo e anima, si incatenavano per giungere a una sintesi ispirata e luminosa. Pitagora diceva che tutto è numero, che Dio è numero, in quanto comune denominatore di tutte le parti di cui l’universo è composto. Il numero non andava pensato come semplice cifra ma appariva dotato di forma, e tra queste forme-numeri si scoprì che esistevano rapporti inaspettati e meravigliosi. Ad esempio la serie dei numeri quadrati si otteneva semplicemente dall’aggiunta dei numeri dispari successivi: 1+3=4; 4+5=9; 9+7=16; 16+9=25 ecc…allo stesso modo si potevano ottenere numeri cubici e numeri piramidali.

Pitagora in gioventù aveva senz’altro visto i cristalli del padre orefice, le cui forme imitavano quelle dei numeri puri (il quarzo la piramide e la doppia piramide, il berillio l’esagono, la granata il dodecaedro). Tutto ciò mostrava che era possibile ridurre il reale a serie di rapporti numerici, a condizione di conoscere le regole del gioco. Esempio di magia dei numeri è anche il famoso teorema che porta il suo nome, e che afferma che la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è pari all’area del quadrato costruita sull’ipotenusa. I numeri non erano stati gettati a caso nel mondo, decidendo non solo la forma di oggetti ma anche determinando le regole dell’armonia musicale. Stabilendo infatti che l’altezza di una nota dipende dalla lunghezza della corda che la produce e che gli intervalli armonici sono prodotti da rapporti numerici semplici (ottava 2:1, quinta 3:2, quarta 4:3, ecc…), i pitagorici facevano una scoperta decisiva: era la prima volta che si riusciva a ridurre la qualità-rapporto alla quantità-suono, il primo passo verso la matematizzazione dell’esperienza umana e, di conseguenza, l’inizio della scienza.

“La matematizzazione dell’esperienza – dice Arthur Koestler nel libro I Sonnambuli – trasferiva ai numeri il diritto di sacralità, giacchè in essi potevano essere viste le idee più pure, disincarnate ed eteree; e quindi la musica, sposando i numeri, non poteva che nobilitarsi. L’exstasis emotiva e religiosa attinta nella musica veniva canalizzata dall’adepto in un’extasis intellettuale per mezzo della contemplazione della divina danza dei numeri. Le grossolane corde della lira rivelano la loro importanza secondaria e possono essere di materiali diversi, di varia lunghezza e spessore, purchè siano mantenute le proporzioni: quel che diviene musica sono i rapporti numerici. Questi rapporti sono eterni, mentre tutto il resto è deperibile; essi sono di natura spirituale, non materiale; permettono le più sorprendenti operazioni mentali, le più deliziose, senza che si debba far riferimento alla volgarità del mondo esterno dei sensi, ed è in questo modo che si deve ritenere che operi lo spirito divino. La contemplazione estatica delle forme geometriche e delle leggi matematiche è quindi il mezzo più efficace di purgare l’anima dalla sue passioni terrestri, il principale vincolo tra l’uomo e la divinità.”

La linea che univa la musica ai numeri divenne così l’asse del sistema pitagorico, prolungato successivamente in due direzioni distinte: verso il binomio corpo-anima dell’uomo e verso le stelle. Relativamente alla prima si trova scritto “che i pitagorici impiegavano la medicina per purgare il corpo e la musica per purgare l’anima”. In effetti una delle più antiche forme di psicoterapia consisteva nell’indurre il paziente, per mezzo di tamburi e di pifferi, a danzare fino alla frenesia e all’esaurimento, per cadere in trance in un sonno riparatore (versione ancestrale del trattamento di shock, della terapeutica reattiva e, per certi aspetti, della bioenergetica). Misure così violente, tuttavia, venivano prese solo quando le corde psichiche del malato erano scordate, allentate o troppo tese. Ciò deve essere inteso in senso letterale, poiché i pitagorici consideravano il corpo come uno strumento musicale, in cui ogni corda doveva avere la giusta tensione e il dovuto equilibrio.

Prolungata fino alle stelle, la dottrina pitagorica divenne l’Armonia delle Sfere. Nell’universo pitagorico il Sole, la Luna e i pianeti, girando in cerchi concentrici attorno alla Terra sferica, producono nell’aria un ronzio musicale; ogni pianeta sprigiona una nota diversa, la quale dipende dal rapporto tra la sua orbita e quella di un pianeta vicino, esattamente come una nota della lira dipende dalla lunghezza delle sue corde. Il mondo di Pitagora assomiglia così a una lira dalle corde circolari che suona per l’eternità. Secondo la tradizione il Maestro aveva il dono di sentire realmente la musica delle sfere, mentre i semplici mortali ne erano privati, perché costituiti da una stoffa troppo grossolana. Nell’Arcadia di Milton troviamo espresso in meravigliosi versi il sogno pitagorico di un concerto cosmico:

ma nel cuore della notte quando il sonno

ha chiuso i sensi mortali, allora ascolto

l’armonia delle celesti Sirene…

un potere così dolce abita la musica

che culla le figlie del Fato

e mantiene l’instabile Natura nella sua legge,

e muove in misura questo basso mondo,

al ritmo dei suoni celesti che nessuno intende

tra i vili umani dall’impuro udito…

Nessuno prima dei pitagorici aveva pensato che i rapporti matematici contenessero i rapporti dell’Universo. Cento anni più tardi tale insegnamento fu la fonte ispirata del platonismo, che penetrò in maniera così determinante nella grande corrente del pensiero europeo. Anche un certo Johann Kepler, alla fine del XVI secolo, s’invaghì del sogno di Pitagora, e su quel fondamento di fantasia, per mezzo di ragionamenti anche azzardati, si mise a costruire il solido edificio dell’astronomia moderna.

Addio Euclide

All’inizio del Novecento alcuni matematici concepirono oggetti ottenuti con la tecnica dell’aggiunta o della rimozione di un numero infinito di parti. Una di tali forme è il “tappeto di Sierpinski”. Per formarlo si prende l’avvio da un quadrato, lo si divide in nove parti uguali (tre per tre) e si toglie il quadrato centrale; poi si ripete l’operazione sugli otto quadrati restanti, lasciando un quadrato vuoto al centro di cascuno di essi (per proseguire così indefinitamente).

L’analogo tridimensionale è la spugna di Menger

Una variante è quella con i triangoli equilateri invece dei quadrati (nota anche come piramide di Sierpinski), a cui Gustave Eiffel si ispirò per costruire il simbolo di Parigi. Questo modello matematico gli permetteva così di togliere peso senza togliere resistenza strutturale alla sua opera architettonica.

E’ interessante osservare che tali figure hanno sempre area o volume uguale a zero (potendo ripetere la rimozione delle parti all’infinito) ma mantengono l’impalcatura geometrica iniziale da cui si è partiti (quadrato, cubo o piramide nei casi precedentemente illustrati). La caratteristica essenziale di queste forme geometriche “bucherellate” è quindi di continuare ad occupare il medesimo spazio delle figure che le hanno originate pur essendo di area o volume notevolmente ridotti. Si può dire, in sostanza, che queste nuove geometrie hanno la prerogativa essenziale (potremmo definirla anche capacità o efficienza) di occupare spazio nel modo più leggero possibile (essendo di area o volume ridotti quasi a zero).

La loro dimensione non è più quella euclidea tradizionale (uno, due o tre) ma frazionaria (dimensione di Mandelbrot o di Hausdorff-Besicovitch). Nel caso per esempio del tappeto di Sierpinski, visto che ci sono i buchi nel quadrato, la dimensione sarà un po’ meno di due (cioè quella del piano che contiene il quadrato senza buchi) ma comunque più di uno, dal momento che occupa più spazio del lato del quadrato (che è di dimensione uno). Per correttezza professionale aggiungo che la dimensione del tappeto di Sierpinski è log8/log3, circa 1,89 (mentre nel caso dei triangoli equilateri è log3/log2, circa 1,585)

Dio è un matematico?

Si è discusso molto sul fatto che le leggi della scienza sembrano “intelligentemente” predisposte per rendere possibile la loro scoperta da parte di un essere umano altrettanto intelligente. Si è anche detto che l’essere umano può considerarsi come un riflesso vivente di tali leggi le quali, per la loro magica e misteriosa coordinazione, assumono la forma di un “sapere divino”.

Il fisico italiano Galileo Galilei, che verso la fine del Cinquecento aprì le porte alla scienza moderna, affermava che gli scienziati avrebbero dovuto ascoltare la natura stessa, e che le chiavi per decifrare il linguaggio dell’universo erano le relazioni matematiche e i modelli geometrici. Molti anni prima fu Pitagora ad enfatizzare il legame tra matematica e cosmo-natura, dicendo che “tutto è numero”. Nel suo Discorso riguardante gli Déi Pitagora definisce il “Numero come l’estensione e la produzione in alto delle ragioni seminali che sono nella Monade, o in una moltitudine di Monadi” (che nella dottrina di sant’Agostino verranno battezzati archetipi). Perciò i numeri non erano semplicemente uno strumento per denotare quantità e grandezze, ma si proponevano come agenti formativi e attivi della natura. Ogni cosa nell’universo, dagli oggetti materiali come la Terra ai concetti astratti come quello della giustizia, era numero da cima a fondo. Viene dunque da chiedersi se Dio fosse un matematico, o invece se la matematica fu scoperta o inventata dagli uomini. I pitagorici non avevano alcun dubbio, ritenedo la matematica reale, immutabile, onnipresente e più sublime di qualsiasi cosa potesse mai emergere dalla debole mente dell’uomo. I pitagorici radicavano letteralmete l’universo nella matematica. Per loro Dio non era un matematico, ma era la matematica stessa ad essere Dio.

Un secolo e mezzo dopo fu Platone a riunire per la prima volta campi che andavano dalla matematica, la scienza, il linguaggio, la religione, l’etica e l’arte, considerandoli un tutt’uno. Egli definì quest’unità come l’unica filosofia in grado di darci l’accesso a un mondo di verità, che si trova ben oltre ciò che siamo in grado di percepire con i nostri sensi o anche solo dedurre con il semplice buon senso. Nella famosa allegoria della caverna, ad esempio, i prigionieri vedono solo una proiezione della realtà ma non la realtà stessa. La proiezione è la realtà sviata dalle apparenze, la realtà percepita dai sensi e dalla comune esperienza, ma che può essere trascesa con un processo attivo e interiore di apprendimento.

La visione di Platone di una realtà al di là delle apparenze unisce due correnti di pensiero, quella pitagorica descritta in precedenza e quella di Parmenide, dove ciò che può essere pensato o di cui si può parlare esiste in tutti i tempi e non può mai cambiare. In sostanza, il platonismo abbraccia l’idea che esistano realtà astratte, eterne ed immutabili, assimilabili a concetti e astrazioni matematiche, completamente indipendenti dal mondo effimero percepito dai sensi. Secondo Platone, l’esistenza reale di queste entità matematiche è un fatto oggettivo quanto l’esistenza dell’universo stesso. Non solo esistono da sempre i numeri naturali, i cerchi e i quadrati, ma anche i numeri immaginari, le funzioni, i frattali, le geometrie euclidee e non euclidee. In breve, tutti i concetti matematici o le asserzioni oggettivamente vere, che siano state anche mai formulate, immaginate o scoperte, sono entità assolute e universali che non è possibile creare né distruggere. Esse esistono da sempre, indipendentemente dalla conoscenza che noi ne abbiamo. Inutile dire che tali oggetti non sono fisici, ma vivono in un mondo autonomo di entità eterne.

Il platonisomo considera i matematici e gli scienziati, prima ancora che inventori dei loro teoremi e delle loro leggi, come esploratori di terre sconosciute: essi possono solo scoprire verità matematiche, non inventarle. Così come l’America esisteva prima che Colombo la scoprisse, i concetti matematici esistevano da sempre nel mondo platonico, prima ancora che i Babilonesi o i Cinesi inaugurassero lo studio della matematica. Le sole cose che hanno un’esistenza vera e completa sono dunque queste forme e idee matematiche astratte, ed è solo nella matematica, come sosteneva lo stesso Platone, che possiamo raggiungere una conoscenza assolutamente certa e oggettiva. Di conseguenza, la matematica non può che essere strettamente associata al divino.